クーロンの法則④（過去問にチャレンジ）解答

正解：(a)（４）、(b)（４）

解説

(a)：クーロンの法則①の通り、真空中において、２つの点電荷Q₁[C]とQ₂[C]が距離r[m]離れている時、点電荷間に働く力は、

$F=k\frac{Q_1{Q}_2}{r^2}$（k：比例定数）

と表現でき、また、比例定数kは

$k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}=9.0\times {10}^9$

であるので、（４）が正解と即答出来るが、設問の通り、与条件で与えられたF=6×10^-5 Nと$Q_A$=+2×10^-8 C、$Q_B$=+3×10^-8 C 、r=0.3 m をそれぞれ代入して、比例定数kを求めていく。

6×10^-5＝k×$\frac{2\times {10}^{-8}\times 3\times {10}^{-8}}{{0.3}^2}$

6×10^-5＝k×$\frac{6\times {10}^{-14}}{9}$

k=9×10⁹

したがって、計算の結果上でも（４）であることが確認できた。

(b)：導体球A,Bと大きさが等しく電荷を持たない導体球Cを、導体球AやBと接触させると、接触した２つの導体球が等電位になる様に、つまり２つの導体球の電荷が等しくなるように電荷が導体球間を移動する。

まず、CをAに接触させると、もともとAに蓄えられていた、+2×10^-8 Cが均等に分配されるので、AもCも+1×10^-8 Cとなる。

次に+1×10^-8 Cの電荷が蓄えられたCを+3×10^-8 C蓄えられたBに接触されると、合計が均等に分配されるので、BもCも+2×10^-8 Cとなる。

この電荷の状態で、導体球C を導体球A と導体球B の間の直線上に置くとき，導体球Cが受ける力が釣り合う位置を導体球A との中心間距離r[m]とするとき、BとCとの中心間距離は0.3－r[m]である。

ここで、クーロンの法則により、AC間とBC間に働く力の大きさはそれぞれ、

$F_{AC}=k\frac{1\times {10}^{-8}\times 1\times {10}^{-8}}{r^2}=k\frac{1\times {10}^{-16}}{r^2}$

$F_{BC}=k\frac{2\times {10}^{-8}\times 1\times {10}^{-8}}{(0.3-r{)}^2}=k\frac{2\times {10}^{-16}}{(0.3-r{)}^2}$

であり、$F_{AC}=F_{BC}$であるとき、導体球Cが受ける力が釣り合うので、

$k\frac{1\times {10}^{-16}}{r^2}=k\frac{2\times {10}^{-16}}{(0.3-r{)}^2}$

(0.3－r)²＝2r²

r²－0.6r＋0.09=2r²

r²＋0.6r－0.09＝0

解の公式より、（参考：解の公式①）

$r=\frac{-0.6\pm \sqrt{{0.6}^2-4\times 1\times (-0.09)}}{2}$

$r=\frac{-0.6\pm \sqrt{0.36+0.36}}{2}$

$r=\frac{-0.6\pm \sqrt{0.72}}{2}$

$r\fallingdotseq \frac{-0.6\pm 0.85}{2}\fallingdotseq -0.725,0.125$

導体球CはAとBの間なので、

0<r<0.3であり、

正解はr=0.125

したがって、最も近いのは（４）0.124である。

ちなみに、r=－0.725（導体球Aよりも左に0.725[m]に導体球Cがある）の時は、AC間とBC間の力の大きさは等しくなるが、どちらからも反発力で左向きの力となるので、導体球Cへの合力も左向きとなり、力が釣り合うわけではない。

＜別解＞

$F=k\frac{Q_1{Q}_2}{r^2}$（k：比例定数）

のうち、分子だけを比較すると、AC間よりもBC間の方が２倍大きいので、分母もAC間よりもBC間の方が2倍大きければ、力が釣り合うことになる。分母は距離の2乗なので、距離にすると、AC間よりもBC間の方が$\sqrt{2}$倍だけ大きければ良い。つまり、図のようにaとbを取ると、a：b＝1：$\sqrt{2}$であればよい。

したがって、a＝r[m]とすると、b＝$\sqrt{2}$r[m]であり、この合計r+$\sqrt{2}$r＝0.3[m]であるので、

$r=\frac{0.3}{1+\sqrt{2}}\fallingdotseq \frac{0.3}{2.414}\fallingdotseq 0.1243$

したがって、最も近いのは（４）0.124である。

問題を選ぶ