平行平板コンデンサと誘電体(過去問にチャレンジ)解答

正解:(4)

解説: 電界の単位と電荷に働く力の通り、電界の大きさはE=$\frac{V}{d}$[V/m]であるので、設問の与条件に合わせると、
E=$\frac{V_0}{d}$[V/m]
であり、E₁もE₂も同じである。電界Eは電源電圧V[V]に比例し、電極間の距離d[m]に反比例する。言い方を変えると、電源電圧と電極間の距離にのみ関係し、その他の要素は無関係である。すなわち、C₁とC₂で誘電体の誘電率が異なっているが、誘電率は大きくとも小さくとも電界Eには関係ない。

次に、平行平板電極の静電容量の通り、平行平板コンデンサの電極面積がS[m2]、電極間距離がd[m]、誘電体の誘電率がε[F/m]のとき、このコンデンサの静電容量はC=$ε\frac{S}{d}$[F]であり、誘電率と比誘電率の通り、真空の誘電率をε₀とし、比誘電率が$ε_s$の絶縁体の誘電率を$ε_r$とすると、$ε_r$=$ε_0×ε_s$であるので、今回では、C₁=$ε_0×ε_{r1}\frac{S}{d}$、C₂=$ε_0×ε_{r2}\frac{S}{d}$となる。また、静電容量,電荷量,静電エネルギーの関係①の通り、電荷量Q=CVの関係があるので、
Q₁=C₁V₀=$\frac{ε_0×ε_{r1}}{d}SV_0$

Q₂=C₂V₀=$\frac{ε_0×ε_{r2}}{d}SV_0$

最後に、電束,電束密度の通り、電束は電荷量Qと等しく、それを面積で割ったものが電束密度であるので、
D₁=Q₁÷S=$\frac{ε_0×ε_{r1}}{d}V_0$

D₂=Q₂÷S=$\frac{ε_0×ε_{r2}}{d}V_0$

となる。したがって(4)が正解。

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