過渡現象 RC回路④解答

正解:(3)

解説:$\frac{q}{C}+R\frac{dq}{dt}=0,i=\frac{dq}{dt}$という微分方程式を解くことで、

$i=-\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{CR}t}$

を導くことができるが、微分方程式の導出過程は覚えなくても良いので、電流の値として上記の通りなることを覚えておいて欲しい。

興味のある方へ、以下に微分方程式での導出過程を示す。

まず、静電容量①の通り、Q=CV(Q:電荷量、C:静電容量、V:電圧)の関係が成り立つので、コンデンサの電圧はV=Q/C今回はQを小文字表記しているので、

$V_C=\frac{q}{C}$と表現出来る。

また、抵抗での電圧は流れる電流と抵抗の積であるので、$V_R=Ri$となるが、電流は単位時間当たりに流れる電荷量のことであるので、$i=\frac{dq}{dt}$とも表現できるので、

$V_R=R\frac{dq}{dt}$と表せる。

このコンデンサと抵抗の電圧の和が電圧0(電源側から電線側へ切り替えるので、電源電圧は0)と等しいので、先程の

$\frac{q}{C}+R\frac{dq}{dt}=0$という微分方程式が出来る。

この方程式を式変形していく。

$R\frac{dq}{dt}=-\frac{q}{C}$

$\frac{dq}{dt}=-\frac{1}{CR}q$

$\frac{1}{q}dq=-\frac{1}{CR}dt$

ここで両辺を積分すると、

$log_eq+A=-\frac{1}{CR}t+B$(ただし、A及びBは積分定数)

$log_eq=-\frac{1}{CR}t+D$(積分定数AとBをDとしてまとめた。Cはコンデンサの静電容量と紛らわしいので、Cを飛ばして、Dで表現)

$q=e^{-\frac{1}{CR}t+D}=e^D×e^{-\frac{1}{CR}t}$

ここで、積分定数Dによる$e^D$を求めるために、初期値(t=0、q=CE(十分に充電した定常状態から始まっているので、初期電荷はQ=CVよりq=CE)を代入する)

$CE=e^D×e^0$

$e^D=CE$

したがって、

$q=CE×e^{-\frac{1}{CR}t}$

となる。

最後に、$i=\frac{dq}{dt}$により$q=CE×e^{-\frac{1}{CR}t}$をtで微分して電流iを求めると、

$i=\frac{dq}{dt}=CE×(-\frac{1}{CR})e^{-\frac{1}{CR}t}=-\frac{E}{R}e^{-\frac{1}{CR}t}$

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