伝達関数とボード線図①（過去問にチャレンジ）解答

正解：（２）

解説

(a)：伝達関数①の通り、伝達関数は入力に対する出力の比なので、特に覚えるほどのことではなく、設問に合わせて回答すればよい。今回は入力電圧に対する出力電圧を求められているので、直列に接続されたＲＬＣ回路の中で、キャパシタンスＣに印加される電圧が出力電圧${\dot{V}}_o$であり、これを入力電圧${\dot{V}}_i$で表現すればよい。設問の与条件では与えられていないが、選択肢のなかにωの記載があるので、角周波数ω[rad/s]を使って表現していく。

RLC回路①の通り、L[H]のコイルのリアクタンスはjωL[Ω]であり、C[F]のコンデンサのリアクタンスは$－j\frac{1}{\omega C}$[Ω]である。これら、R[Ω]、jωL[Ω]、$－j\frac{1}{\omega C}$[Ω]の直列回路のうち、$－j\frac{1}{\omega C}$[Ω]の電圧が出力電圧${\dot{V}}_o$であるので、

${\dot{V}}_o$＝$\frac{－j\frac{1}{\omega C}}{R+j\omega L－j\frac{1}{\omega C}}$${\dot{V}}_i$

分子・分母にjωCを掛けて、（j²＝－1なので）

${\dot{V}}_o$＝$\frac{1}{j\omega CR-{\omega }^{2}LC+1}$${\dot{V}}_i$

${\dot{V}}_o$＝$\frac{1}{1-{\omega }^{2}LC+j\omega CR}$${\dot{V}}_i$

したがって、G(jω)（＝$\frac{{\dot{V}}_o}{{\dot{V}}_i}$）＝$\frac{1}{1-{\omega }^{2}LC+j\omega CR}$であり、（２）が正解。

(b)：まず(a)で求めた伝達関数G(jω)（＝$\frac{{\dot{V}}_o}{{\dot{V}}_i}$）＝$\frac{1}{1-{\omega }^{2}LC+j\omega CR}$にR＝1Ω，L＝0.01H，C＝100μFを代入すると、

G(jω)＝$\frac{1}{1-{\omega }^2\times 0.01\times 100\times {10}^{-6}+j\omega \times 100\times {10}^{-6}\times 1}=\frac{1}{1-1.0\times {10}^{{}^{-}6}{\omega }^2+j1.0\times {10}^{-4}\omega }$

ここで、ボード線図①の通り、y軸のゲイン[dB]は、$20lo{g}_{10}$| G(jω)|であるので、

$20lo{g}_{10}|\frac{1}{1-1.0\times {10}^{{}^{-}6}{\omega }^2+j1.0\times {10}^{-4}\omega }|$の角周波数特性を整理する。

グラフの中での、分かりやすい代表ポイントを実際にゲインの式に代入しながら考えていく。まず、ω＝100[rad/s]のとき、

$20lo{g}_{10}|\frac{1}{1-1.0\times {10}^{{}^{-}6}{\omega }^2+j1.0\times {10}^{-4}\omega }|$

＝$20lo{g}_{10}|\frac{1}{1-1.0\times {10}^{{}^{-}6}\times {100}^2+j1.0\times {10}^{-4}\times 100}|$

＝$20lo{g}_{10}|\frac{1}{0.99+j0.01}|$ここで、|0.99+j0.01|＝$\sqrt{{0.99}^2+{0.01}^2}$≒0.99≒1であるので、

$20lo{g}_{10}|\frac{1}{0.99+j0.01}|$≒$20lo{g}_{10}1$ここで、$lo{g}_{10}1$＝0であるので、（${10}^0$＝1ということ）

$20lo{g}_{10}1$＝0[dB]

ω=100[rad/s]のときに、0[dB]となるのは（４）と（５）に絞られる。

次に、ω＝1,000[rad/s]のとき、

$20lo{g}_{10}|\frac{1}{1-1.0\times {10}^{{}^{-}6}{\omega }^2+j1.0\times {10}^{-4}\omega }|$

＝$20lo{g}_{10}|\frac{1}{1-1.0\times {10}^{{}^{-}6}\times {1000}^2+j1.0\times {10}^{-4}\times 1000}|$

=$20lo{g}_{10}|\frac{1}{j0.1}|$＝$20lo{g}_{10}10$＝20×1＝20[dB]

先程の（４）と（５）のうち、ω＝1,000[rad/s]のときに、20[dB]となるのは（４）である。

念のため、確認でω＝10,000[rad/s]のとき、

$20lo{g}_{10}|\frac{1}{1-1.0\times {10}^{{}^{-}6}{\omega }^2+j1.0\times {10}^{-4}\omega }|$

＝$20lo{g}_{10}|\frac{1}{1-1.0\times {10}^{{}^{-}6}\times {10000}^2+j1.0\times {10}^{-4}\times 10000}|$

＝$20lo{g}_{10}|\frac{1}{-99+j}|$ここで、|-99+j|＝$\sqrt{{99}^2+1^2}$≒99≒100であるので、

$20lo{g}_{10}|\frac{1}{-99+j}|$≒$20lo{g}_{10}\frac{1}{100}$=20×(－2）＝－40[dB]

先程の（４）はω＝10,000[rad/s]で－40[dB]になっているので、問題ない。

したがって、正解は（４）

問題を選ぶ