抵抗率と温度係数②（過去問にチャレンジ）解答

正解：（２）

解説：まず、抵抗①の通り、抵抗R= $ρ \frac{ℓ}{S}$ 、抵抗率ρ=ρ_基準(1+αt)となる。問題の条件より、抵抗器で変化するのは温度であるので、
抵抗値R= $ρ \frac{ℓ}{S}$ ・・・①は抵抗率ρ=ρ_基準(1+αt)・・・②に比例して増減する。また、抵抗率は基準温度からの温度差t[℃]によってその値が変わる。②を①に代入して、
R= $ρ_{基準} (1 + α t) \frac{ℓ}{S} = R_{基準} (1 + α t)$ で考える。それぞれの抵抗器は20[℃]を基準温度として、抵抗温度係数をα₁[℃^-1] 、α₂=0[℃^-1]としているので、R₁(1+α₁t)、R₂(1+α₂t)と表現できる。21[℃]のときの抵抗値は、基準温度20[℃]から1[℃]温度上昇しているので、t=1を代入すればよい。よって、R₁(1+α₁)、R₂(1+α₂)となる。ここで、α₂=0であるので、R₂(1+α₂)= R₂である（抵抗率温度係数が0だと温度に関係なく抵抗値は一定になる）。r₂₀はR₁とR₂の並列回路抵抗であるので、 $\frac{1}{r_{20}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ より、r₂₀= $\frac{R_{1} R_{2}}{R_{1} + R_{2}}$ である。また、r₂₁はR₁(1+α₁)とR₂の並列回路抵抗であるので、 $\frac{1}{r_{21}} = \frac{1}{R_{1} (1 + α_{1})} + \frac{1}{R_{2}}$ より、r₂₁= $\frac{R_{1} R_{2} (1 + α_{1})}{R_{1} + R_{2} + α_{1} R_{1}}$ である。これを問題の式へ代入する。
$\frac{r_{21} - r_{20}}{r_{20}} = \frac{r_{21}}{r_{20}} - 1 = \frac{\frac{R ₁ R ₂ (1 + α ₁)}{R ₁ + R ₂ + α ₁ R ₁}}{\frac{R ₁ R ₂}{R ₁ + R ₂}} - 1 = \frac{(1 + α ₁) (R ₁ + R ₂)}{R ₁ + R ₂ + α ₁ R ₁} - 1 = \frac{α ₁ R ₂}{R ₁ + R ₂ + α ₁ R ₁}$

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